正态分布

正态分布

概率密度函数 红线代表标准正态分布
累积分布函数 颜色与概率分布密度函数相同
记号	$N(\mu ,\sigma ^{2})$
参数	$\mu$数学期望（实数） $\sigma ^{2}>0$方差（实数）
值域	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
概率密度函数	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!$
累计分布函数	${\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!$
期望值	$\mu$
中位数	$\mu$
众数	$\mu$
方差	$\sigma ^{2}$
偏度	0
峰度	0
熵	$\ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\!$
矩生成函数	$M_{X}(t)=\exp \left(\mu \,t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}\right)$
特征函数	$\phi _{X}(t)=\exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)$

正态分布（normal distribution）是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要，经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量。

若随机变量服从一个平均数为、标准差为的正态分布，则记为：

$X\sim N(\mu ,\sigma ^{2}),$

则其概率密度函数为 $f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\!$

正态分布的数学期望值或期望,可解释为位置参数，决定了分布的位置；其方差$\sigma ^{2}$的平方根或标准差$\sigma$可解释尺度参数，决定了分布的幅度。

中心极限定理指出，在特定条件下，一个具有有限均值和方差的随机变量的多个样本(观察值)的平均值本身就是一个随机变量，其分布随着样本数量的增加而收敛于正态分布。因此，许多与独立过程总和有关的物理量，例如测量误差，通常可被近似为正态分布。

正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线（类似于寺庙里的大钟，因此得名）。我们通常所说的标准正态分布是位置参数$\mu =0$，尺度参数$\sigma ^{2}=1$的正态分布（见右图中红色曲线）。