加权平均数

加权平均数（weighted mean）

如果所有的权重相同且等于1，那么加权平均数与算术平均数相同。加权平均数作为算术平均数的更广义的表现形式，加权平均数具有一些看起来违反常理的性质，例如辛普森悖论。

数学定义

以数学式来表示，假设资料中有数值$X_{1}$～$X_{2}$：$[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$

各数值各有一个权值$W$：$[W_{1},W_{2},\dots ,W_{n}]$

这些数值的加权平均数即为：

$M_{W}={\frac {W_{1}X_{1}+W_{2}X_{2}+\cdots +W_{n}X_{n}}{W_{1}+W_{2}+\cdots +W_{n}}}={\frac {\sum {W_{i}X_{i}}}{\sum {W_{i}}}}$

总平均数

由各组平均数计算总平均数是应用加权平均数的一个特例。尤其在心理与教育研究中，经常会遇到由各个平均数计算总平均数这类问题。根据加权平均数的计算公式，可得：

${\bar {X_{T}}}={\frac {\sum {n_{i}{\bar {X_{i}}}}}{\sum {n_{i}}}}$

举例

给出一个学校的两个班级，一个班级有20名学生，另一个有30名学生，在一次测验中两个班级的成绩分别为：

一班 = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98

二班 = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

从以上数据可以得出，一班的平均分是80，二班的平均分是90，两个班的总分为4300。要求两个班的总平均分可以通过计算所有学生成绩的平均数来获得，或者通过以班级人数作为权重来计算两个班级均值的加权平均数获得：

${\bar {X_{T}}}={\frac {4300}{50}}=86$

或者，用班级均值的加权平均数计算:

${\bar {X_{T}}}={\frac {20\times 80+30\times 90}{20+30}}=86$

加权平均数使得仅知道各个班级平均成绩和学生数量而求出整体学生的平均成绩成为可能。